s = e0, i= e12, j= e23, k= e13
 
a = a0*s + a1*i + a2*j + a3*k    is called a quaternion (= even multivector).
grade(a) = grade(a,0) + grade(a,2)
cj(a) = grade(a,0) - grade(a,2)
cj(ab) = cj(b)cj(a)
a² = a cj(a)
abs1(a) = sqrt(a²)
inv1(a) = cj(a) / (a cj(a))
inv1 (a, b, ..., c) = inv1 (c)...inv1 (b) inv1 (a)
 
ex :
a = 2s + 4i - 3j + k
b = 5s - 2i + j - 3k
ca = cj(a) = 2s - 4i + 3j - k
cb = cj(b) = 5s + 2i - j + 3k
abs1 (a) = sqrt(30)
abs1 (b) = sqrt(39)
inv1 (a) = (2s - 4i + 3j - k)/30
inv1 (b) = (5s + 2i - j + 3k)/39
gp(a,b) = 24s + 24i - 3j - 3k                  abs1 (ab) = sqrt(1170)
gp(b,a) = 24s + 8i - 23j + k                   abs1 (ba) = sqrt(1170)
inv1 (ab) = 4/195 - 4i/195 +j/390 + k/390
xa = b -> x = b 1/a = -2s/15 - 8i/15 + 9j/10 - 13k/30
 
Polar form :
 
q =  q0*s + q1*i  +q2*j + q3*k    =               q0 + qv                                              with
 
                                                                      q0 = a0*s,                                      scalar part
                                                                      qv  = q1*i + q2*j + q3*k                  bivector part
 
can be written as                                              q = r*(cos f + B*sin f)                      with
 
                                                                       r  = abs1 (q)
                                                                       tan (f) = +-| qv| / q0
                                                                       B = +- unit1(qv)
 
ex :
q = 3s + i + j + k = q0 + qv    with q0 = 3s  qv = i + j + k
abs1 (q0 + qv) = 2sqrt(3)
abs1 (qv) = sqrt(3)
tan (f) = |qv| / q0 = 1 / sqrt(3)     f = 30°
unit1 (qv) = (i + j + k) / sqrt(3)
 
q = 2sqrt(3)*(cos 30° + (i + j + k) / sqrt(3)*sin30°)
   quaternions
 

                           
APPLICATIONS 
exercices
mechanics
geometry
electromagnetism
Lorentz transf. APS
Lorentz transf. STA
exterior algebra
linear transf.
quaternions
spinors
STA
APS
conformal model
hogeneous model