1.   Minkowski space-time  Cl3,1
 
Cl(3,1)
oriented volume:
j = e1234
signature :
(1,1,1,-1)
 
E=(e1+ 2e2,+4e3)  
B=(3e1+5e2+7e3)
                     
E=gp(E, e4)                               #  E = E e4
B=gp(B, e4)                               #  B = B e4
j=e1234                                     # the role of imaginary number is played by   j = e1234     j² = -1
F = E - gp(j, B)                           # electromagnetism field    F = E - jB
 
consider a boost of half the velocity of ligth in direction of positive x-axis
v = 0.5 e1
v =gp( v ,e4)                               # v = v e4
a= atanh1 (v)
s=exp1 (a/2)
G=gp(gp(s, F), rev(s))                 # Lorentz transformation of electromagnetic field :  s  F/s
 
compute Lorentz invariants :  F  F/2  and  G  G/2
gp(F, F/2)
(-31,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-41)
gp(G, G/2)
(-31,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-41)
 
compute the Poynting vector and energy density :  F  e4  F/2    and   G  e4  G/2
gp(F, gp(e4, F/2))
(0,6,-5,1,-52,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
gp(G, gp(e4, G/2))
(0,72.666,-15.588,-13.279,-91.333,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
 


2.   using paravectors in Cl3,0
 
# paravector product u v = u cj(v)
 
Cl(3)                                    
E= e1+2e2+4e3                                                                                                E=e1+2e2+4e3
B = 3e1+5e2+7e3                                                                                              B=3e1+5e2+7e3
i=e123                                                                                                                i=e123
F=E-iB                                  Electromagnetic field                                               F=E-gp(i,B)
F  F/2                                   compute Lorentz invariants                                     gp(F,F/2)
-F' F/2                                   compute energy density and
                                            Poynting vector                                                      gp(-invol(F),F/2)
 
Consider a boost at half the velocity of light in the direction of positive x-axis
v=0.5e1                                                                                                               v=0.5e1                  
a=atanh1 (v)                                                                                                        a=atanh(v)
s=exp1(a/2)                                                                                                         s=exp(a/2)
G=s F s"                               Lorentz transformation of
                                            the electromagnetic field F                                        G=gp(gp(s,F),cj(s))
i <G>2                                  extract out og G its magnetic induction                      gp(i,grade(G,2)          
 
Lorentz transformation of a space-time point
x=10e0+e1+e2                                                                                                     x=10e0+e1+e2
y=s x s~                                                                                                              y=gp(gp(s,x),rev(s))
Check that the quadratic form is preserved
x x"                                                                                                                        gp(x,cj(x))
y y"                                                                                                                        gp(y,cj(y)
 
Note on Lorentz transform :
p -> L p L~               odd multiparavector grade
F -> L F L"                even multiparavector grade
    electromagnetism
 

                           
APPLICATIONS 
exercices
mechanics
geometry
electromagnetism
Lorentz transf. APS
Lorentz transf. STA
exterior algebra
linear transf.
quaternions
spinors
STA
APS
conformal model
hogeneous model